Чему равна сумма квадратов катетов

Сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы. Это утверждение представляет собой знаменитую теорему Пифагора - одну из фундаментальных теорем евклидовой геометрии.

Формулировка теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (c) равен сумме квадратов длин катетов (a и b):

c² = a² + b²

Геометрическая интерпретация

Примеры расчетов

Пример 1: Классический треугольник

Для треугольника с катетами 3 и 4:

• 3² + 4² = 9 + 16 = 25
• √25 = 5 (длина гипотенузы)

Пример 2: Равнобедренный треугольник

Для треугольника с равными катетами по 1:

• 1² + 1² = 1 + 1 = 2
• √2 ≈ 1.414 (длина гипотенузы)

Применение теоремы

• Вычисление расстояний между точками на плоскости
• Определение длин диагоналей прямоугольников
• Решение задач в строительстве и архитектуре
• Применение в физике для расчета векторов

Доказательства теоремы

Существует множество способов доказательства теоремы Пифагора:

1. Через площади квадратов
2. Алгебраические доказательства
3. Геометрические преобразования
4. Использование подобия треугольников

Историческая справка

Хотя теорема названа в честь древнегреческого математика Пифагора, она была известна задолго до него. Вавилонские клинописные таблички демонстрируют, что соотношение между сторонами прямоугольного треугольника было известно еще в древнем Вавилоне.

Обратная теорема

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный. Это утверждение называется теоремой, обратной теореме Пифагора.