В математическом анализе определенный интеграл функции на отрезке формально определяется как предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю. Это фундаментальное понятие связывает интегральное исчисление с теорией пределов.
Содержание
1. Основные понятия
| Термин | Определение |
| Разбиение отрезка | Конечное множество точек a=x0< x1< ... < xn=b |
| Диаметр разбиения | max(xi - xi-1) для i=1,...,n |
| Интегральная сумма | Σf(ξi)(xi - xi-1), где ξi ∈ [xi-1,xi] |
2. Формальное определение
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a,b] есть предел интегральных сумм:
∫abf(x)dx = limλ→0Σi=1nf(ξi)Δxi
где λ - диаметр разбиения, Δxi = xi - xi-1
3. Геометрическая интерпретация
3.1. Для неотрицательных функций
- Интегральная сумма - сумма площадей прямоугольников
- Предел сумм - площадь под кривой
- Каждое слагаемое f(ξi)Δxi - площадь элементарного прямоугольника
3.2. Для знакопеременных функций
- Участки выше оси OX дают положительный вклад
- Участки ниже оси OX дают отрицательный вклад
- Предел дает алгебраическую сумму площадей
4. Теоретическое обоснование
| Теорема | Формулировка |
| О существовании интеграла | Непрерывная на [a,b] функция интегрируема по Риману |
| Критерий интегрируемости | Функция интегрируема ⇔ множество точек разрыва имеет меру нуль |
5. Вычисление интегральных сумм
- Выберите способ разбиения отрезка (равномерное/неравномерное)
- Определите точки ξi (левые, правые, средние, произвольные)
- Вычислите значения функции в точках ξi
- Умножьте на длины подотрезков Δxi
- Сложите полученные произведения
6. Пример вычисления предела интегральных сумм
| Функция | Интеграл | Метод |
| f(x) = x2 на [0,1] | ∫01x2dx = 1/3 | Равномерное разбиение, правые точки |
| f(x) = x на [a,b] | ∫abxdx = (b2-a2)/2 | Произвольное разбиение |
Представление определенного интеграла как предела интегральных сумм является теоретической основой для численных методов интегрирования и глубокого понимания связи между интегральным и дифференциальным исчислением.
