Рассмотрим геометрическое доказательство того, что площадь параллелограмма можно представить как сумму площадей определенных фигур, на которые он разбивается.
Содержание
Основное свойство площади параллелограмма
Известно, что площадь параллелограмма ABCD вычисляется по формуле:
- S = a × h, где:
- a - длина основания
- h - высота, проведенная к этому основанию
Доказательство через разбиение на треугольники
Проведем в параллелограмме ABCD диагональ AC, которая разбивает его на два равных треугольника ABC и ADC.
| Фигура | Площадь |
| Треугольник ABC | S₁ = ½ × a × h |
| Треугольник ADC | S₂ = ½ × a × h |
| Параллелограмм ABCD | S = S₁ + S₂ = ½ah + ½ah = ah |
Алгебраическое доказательство
Представим параллелограмм как сумму трапеции и треугольника:
- Проведем высоту BE из вершины B на основание AD
- Получим прямоугольный треугольник ABE и прямоугольник EBCD
- Площадь треугольника: SΔ = ½ × AE × BE
- Площадь прямоугольника: S□ = ED × BE
- Общая площадь: S = ½AE×BE + ED×BE = BE×(½AE + ED)
- Поскольку AE + ED = AD, получаем S = BE × AD
Векторное доказательство
Для параллелограмма, заданного векторами a и b:
- Площадь равна модулю векторного произведения: S = |a × b|
- Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности: a × (b + c) = a × b + a × c
- Таким образом, площадь можно представить как сумму площадей параллелограммов, образованных компонентами векторов
Все приведенные доказательства подтверждают, что площадь параллелограмма действительно может быть представлена как сумма площадей составляющих его фигур - треугольников, прямоугольников или других параллелограммов.
